Propiedades de integrales indefinidas

1.  El proceso de diferenciación e integración son inversos entre sí en el sentido de los siguientes resultados:

$$\frac{d}{dx} \int f(x)dx=f(x)$$
y 
$$\int f'(x)dx=f(x)+C$$

                                                                              donde C es cualquier constante arbitraria.

Probemos ahora esta afirmación.

Prueba: Considere una función f tal que su antiderivada está dada por F, es decir
$$\frac{d}{dx} F(x)=f(x)$$

Después,
$$\int (x)dx=F(x)+C$$


Al diferenciar ambos lados con respecto a x tenemos,
$$\frac{d}{dx} \int f(x)dx= \frac{d}{dx}(F(x)+C)$$


Como sabemos, la derivada de cualquier función constante es cero. De este modo,
$$\frac{d}{dx} \int f(x)dx= \frac{d}{dx}(F(x)+C)$$
$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=\frac{d}{dx}F(x)$$
$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)$$


La derivada de una función f en x se da como f'(x), por lo que obtenemos;
$$f'(x)= \frac{d}{dx} f(x) $$

Por lo tanto, 



Por lo tanto, probado. 

2. Dos integrales indefinidas con la misma derivada conducen a la misma familia de curvas, por lo que son equivalentes. 


Prueba: Sean f y g dos funciones tales que

$$\frac{d}{dx} \int f(x)dx= \frac{d}{dx} \int g(x)dx$$
0
$$\frac{d}{dx}[ \int f(x)dx-\int g(x)dx]=0$$



Ahora,
$$\int f(x)dx-\int g(x)dx=C$$
0
$$\int f(x)dx=\int g(x)dx+C$$

donde C es cualquier número real.

De esta ecuación, podemos decir que la familia de las curvas de [ ∫ f(x)dx + C 3 , C 3 ∈ R] y [ ∫ g(x)dx + C 2 , C 2  ∈ R] son ​​las mismas .  

Por tanto, podemos decir que, ∫ f(x)dx = ∫ g(x)dx


3. La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones dadas, es decir, 

$$\int [f(x) + g(x)]dx =\int f(x)dx+ \int g(x)dx$$

Prueba: De la propiedad 1 de las integrales tenemos,
$$\frac{d}{dx} [\int [f(x) + g(x)]dx] =f(x)+g(x)...(1)$$


Además, podemos escribir;
$$\frac{d}{dx} [\int f(x)dx + \int g(x)dx] = \frac{d}{dx} \int f(x)dx+ \frac{d}{dx} \int g(x)dx=f(x)+g(x)...(2)$$


De (1) y (2),
$$\int [f(x)+g(x)]dx= \int f(x)dx+ \int g(x)dx$$


Por lo tanto probado.

4. Para cualquier valor real de p,

$$\int pf(x)dx=p \int f(x)dx$$

Prueba: De la propiedad 1 podemos decir que 
$$\frac{d}{dx} \int pf(x)dx=pf(x)$$

También,
$$\frac{d}{dx}[p \int f(x)dx]=p \frac{d}{dx} \int f(x)dx=pf(x)$$


De la propiedad 2 podemos decir que
$$\int pf(x)dx=p \int f(x)dx$$







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