Este método consiste en hacer rotar la gráfica de nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la suma de discos.
Para obtener el volumen de un disco se multiplica el área del círculo por la altura de este:
V=πr2h
En este caso tomaremos el eje x como el eje de rotación , por lo que el radio del circuloesta definido por la función en x y la altura será Delta x:V=π[f(x)]2Δx
Por lo tanto:V=limh∑∞π[f(x)]2ΔxPor lo anterior, tendremos dos casos:
1. Si usamos rectángulos verticales: V=∫abπ[f(x)]2dx2. Si usamos rectángulos horizontales:V=∫abπ[f(y)]2dy
Ejemplo: Encuentre volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta y = 4 ,la región limitada por la parábola y=x , la recta y= 4 y el eje y.
En la siguiente figura se muestra un dibujo aproximado del solido de revolución , se dibuja también un elemento diferencial que tiene la forma de un disco
El volumen del solido esta dado por: V=∫abπR2dxComo se observa en la figura superior , el radio R es la diferente entre dos funciones ,la mayor es la recta y1=4 y la menos es la parábola y2=x al cuadrado , entoncesR=y2−y1=4−x2 |
Los limites de integración se obtienen de la región que esta rotando. Como la variable de integración es xlos limites van de 0 a 2.V=∫02π(4−x2)2dxV=∫02π(16−8x2+x4)dxV=π(16x−38x3+5x5)∣02
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V=π(16(2)−38(2)3+5(2)5)−π(0)V=(32−364+532)πV=15256π |
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