Método de corteza cilíndrica - Solidos de revolución

 Si una región del plano , se hace girar alrededor de un eje paralelo al eje y, de tal forma que se genera un solido de revolución , que tiene como diferenciales de volumen capas cilíndricas con su eje en el eje de revolución. Entonces el volumen del solido esta dado por:

$$V = \int_a^b 2 \pi r h dx

donde r es el radio de la capa cilíndrica en términos de la variable integración y h es la altura de la capa cilíndrica expresada en términos de la variable de integración. 

Consideremos la región plana determinada por la grafica de una función f(x), y las rectas x=a , x=b , e y=c .  El volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje vertical x=x0 viene dado por:

$$V = 2 \pi \int_a^b p(x)h(x)dx

Donde p(x) es la distancia de x al eje de revolución y h(x) es la distancia entre c y f(x). Usualmente , el eje de revolución es el eje y y la región esta junto al eje x , por lo que p(x)=x y h(x)=f(x)

Si consideramos la región plana determinada por la grafica de una función f(y), y las rectas y=c , y=d y x=a , el volumen del solido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje horizontal y=y0 viene dado por:

$$V=2\pi {\int }_c^{d}p(y)h(y)dy$$

Donde p(y) es la distancia de y al eje de revolución y h(y) es la distancia entre a y f(y). Cuando el eje de revolución es el eje x y la región esta junto al eje y , entonces p(y)=y  y h(y)=f(y)

Ejemplo:

Encuentre volumen del solido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta x=2 , la región limitada por la parábola y=x al cuadrado , la recta y=4 y el eje y. 

En la siguiente figura se muestra un dibujo aproximado del solido de revolución , se dibuja también un elemento diferencial que tiene la forma de una capa cilíndrica con centro en la recta x=2

El volumen del solido esta dado por:

$$V = \int_a^b 2 \pi r h dx $$Como\; se\; observa\; en\; la\; figura\; superior,\; el\; radio\; r\; es\; la\; diferencia\; entre\; dos\; valores\; de\; x,$$$$el\; valor\; mayor\; es\; x=2\; que\; corresponde\; al\; eje\; de\; rotación\; y\; el\; menor\; es\; x\; ,\; que\; corresponde\; a\; la\; variable$$$$independiente\; esdecir:$$ r=2-x La altura h  de la capa cilíndrica es la  diferencia de dos funciones , la mayor es la recta y2=4 y la menor  es la parábola y1=x^2  , por lo que la altura de la capa cilíndrica es: h=y2-y1    = 4-x^2 $$Los\; limites\; de\; integración\; se\; obtienen\; de\; la\; región\; que\; esta\; rotando.\; Como\; la\; variable\; de\; integración\; es\; x$$los limites van de 0 a 2.