Integrales de funciones trigonométricas

Son integrales en las que aparecen las funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q , para este caso hay un cambio siempre valido , es el llamado cambio general que las transforma en integrales racionales.

Un integral se llama trigonométrica cuando el integrando de la integral se compone de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución , por supuesto , los teoremas de integración son validos.

En general , se debe aplicar las siguientes sugerencias:

• Usar una identidad trigonométrica y simplificarla es útil cuando las funciones trigonométricas están presentes.
• La eliminación de una raíz cuadrada se suele hacer después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
• Reducir una fracción incorrecta.
• Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.
• Multiplicar por una forma unitaria g(x) / g(x) que al ser multiplicada por la f(x) integradora permite modificar adecuadamente [f(x)g(x)] / g(x).
• Intente sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).
• Es necesario tener una tabla de identidad trigonométricas para ir sustituyendo adecuadamente

Ejemplo:

$$\int Cos^{5}xdx $$

$$=\int Cos^{4}xCosdx=\int(1-Sen^{2}x)^{2}Cosxdx$$

$$=\int(1-Sen^{2}x+Sen^{4}x)Cos$$

$$=\int Cosxdx-2\int Sen^{2}xCosxdx+\int Sen^{4}xCosxdx$$

$$u=Sen x  ;  du=Cos x dx$$

$$=Senx-2\int  u^{2}du+\int u^{4}du=Senx- \frac{2}{3}u^{3}+\frac{1}{5}u^{5}+C$$

Respuesta: 

$$=Senx-\frac{2}{3}Sen^{3}x+\frac{1}{5}Sen^{5}x+C$$

Ejemplo 2: 

$$\int tg^{4}xSec^{4}xdx$$

$$=\int tg^{4}xSec^{2}xSec^{2}xdx=\int tg^{4}x(tg^{2}x+1)Sec^{2}xdx$$

$$=\int tg^{4}xtg^{2}xSec^{2}xdx+\int tg^{4}xSec^{2}xdx$$

$$=\int tg^{6}xSec^{2}xdx+\int tg^{4}xSec^{2}xdx$$

$$u=tgx ; du=Sec^{2}xdx$$

$$=\int  u^{6}du+\int u^{4}du=\frac{u^{7}}{7}+ \frac{u^{5}}{5}+C$$

Respuesta:

$$=\frac{tg^{7}x}{7}+ \frac{tg^{5}x}{5}+C$$