Integración por sustitución

 La integración por sustitución es un método importante de integración, que se utiliza cuando una función a integrar es una función compleja o si la integración directa de la función no es factible. La integral de una función se simplifica mediante este método de integración por sustitución , al reducir la función dada a una función simplificada.

1. Escoger un cambio de variable $z=$ función de $x$.
2. Despejar $x$ para calcular $dx$.
3. Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable.

Ejemplo:

    

$$    \int \frac{ e^{3x}}{1+ e^{3x}}dx = \frac{1}{3}*ln |1+ e^{3x} |+C                                                                    ∫1+e3xe3x​dx

Atendiendo a la tabla, escogemos el cambio de variable

      

$$z = e^{x}                                                                            z=ex

Con este cambio, 

$$e^{3x}=z^3$$

      

 así que obtendremos un cociente de polinomios.

Despejamos  x aplicando logaritmos:

          

ln(z)=ln(ex)

Derivamos para calcular dx (respecto de x en el lado izquierdo y respecto de z en el derecho):                          

$$x=ln(z)                                                        x=ln(z)                                                             dx=z1​dz

Sustituimos en la integral y simplificamos (no olvides sustituir también dx):

    

$$\int \frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}dx                                                        ∫1+e3xe3x​dx

$$\int\frac{ z^{3} }{1+ z^{3}}\ast\frac{1}{z}dz                                                        ∫1+z3z3​∗z1​dz

$$\int \frac{z^{2}}{1+z^{3}}dx                                                        ∫1+z3z2​dx

La integral obtenida es inmediata (un logaritmo):

$$\int \frac{z^{2}}{1+z^{3}}dz = \frac{1}{3} * ln \mid 1+ z^{3} \mid + k                                            ∫1+z3z2​dz=31​∗ln∣1+z3∣+k

Deshacemos el cambio de variable:

$$\frac{1}{3}*ln | 1+ z^{3}| = \frac{1}{3} * ln | 1+ e^{3x} |31​∗ln∣1+z3∣=31​∗ln∣1+e3x∣

Por tanto,

$$\int \frac{ e^{3x}}{1+ e^{3x}}dx = \frac{1}{3}*ln |1+ e^{3x} |+C∫1+e3xe3x​dx=31​∗ln∣1+e3x∣+C