Calcular el valor aproximado de una raiz con diferenciales

Aquí vamos a ver cómo usar diferenciales para encontrar un valor aproximado para el número dado. 

                                                         f(x + Δx) = f(x) + dy 

Para encontrar el valor aproximado del número dado usando derivadas, usamos la fórmula dada arriba.

Aquí "x" representa el número para el cual podemos encontrar el valor exacto más cercano al número dado. 

"Δx" representa la parte restante del número dado. 

Veamos algunos ejemplos para entender el concepto anterior :

Usa diferenciales para encontrar el valor aproximado de  ∛65 

                                                        f(x + Δx) = f(x) + dy

 No podemos encontrar la raíz cúbica del número 65, pero podemos encontrar la raíz cúbica del número 64 más cercana a 65. 

Entonces, x = 65  y  Δx = dx = 1             Sea y = f(x) = ∛x = x 1/3

Primero encontremos el valor de "dy"

y =   x 1/3

dy/dx = (1/3)x 1/3 - 1

dy = (1/3)x -2/3  dx

dy = (1/3)(64) -2/3  (1)

Aplicando los valores de "x" y "dx".
                     = (1/3)4 -2

                     = 1/3(16)

                     = 1/48

El valor de  dy es 0.208333...
    f(x) =   x 1/3
    f(64) = 64 1/3    = (4 3 ) 1/3  = 4 
El valor de f(64) es 4.
    f(x + Δx) = f(x) + dy
    f(64 + 1) = f(64) + dy
    f(65) = 4 + 0.2083333...
              = 4.208333........
Por lo tanto, el valor aproximado de  ∛65 es 4.0283333.....

Si no esta muy claro, veamos otro ejemplo:

Usa diferenciales para encontrar el valor aproximado de  √36.1


                                            f(x + Δx) = f(x) + dy


No podemos encontrar la raíz cuadrada del número 36,1, pero podemos encontrar la raíz cúbica del número 36 más cercana a 36,1.


Entonces, x = 36 y  Δx = dx = 0.1
Sea y = f(x) =   √ x = x 1/2
y =   x 1/3
dy/dx = (1/2)x 1/2 - 1

Primero encontremos el valor de "dy"

dy = (1/2)x -1/2  dx

dy = (1/2)(36) -1/2  (0.1)

Aplicando los valores de "x" y "dx".

                      = (1/2)6 -1  (0,1)

                      = (1/2)(1/6)(0.1)

                      = 0,1/12

                      = 0.008333.......

El valor de dy es 0.008333333...........

f(x) =   x 1/2

f(36) = 36 1/2= (6 2 ) 1/2= 6 

El valor de f(36) es 6.

f(x + Δx) = f(x) + dy

f(36 + 0.1) = f(64) + dy

f(65) = 6 +  0.008333333 ......

           = 6.00833333........

Por lo tanto, el valor aproximado de  √36.1  es 6.008333333....







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