Integrales por fracciones parciales

 Existen 4 casos de factores por fracciones parciales: 

Caso 1: Factores lineales distintos. 

En este caso a cada factor lineal de la forma ax + b del denominador le corresponde una constante, se aumentara en numero de constantes dependiendo de cantos factores se tenga en el denominador.

Nota: Todas las integrales que utilicen este caso su resultado sera el logaritmo natural de cada uno de los factores.

$$\frac{10x + 6 }{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}

Ejemplo:

$$\int \frac{(2x+3)dx}{ x^{3} + x^{2}-2x }

El denominador de dicha fracción se puede factorizar por factor común:

$$x( x^{2}+x+2)

Al obtener estos dos factores debemos percatarnos que estos se pueden reducir lo mas posible, el segundo factor se puede factorizar ya que es un trinomio , dando como resultado:

$$x( x-1)(x+2)

Dando como resultado:

$$\frac{(2x+3)dx }{x(x-1)(x+2)}

Se acomodan los factores:

$$\frac{(2x+3)dx }{x(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x+2)}

Por lo cual A, B , C son constantes a determinar , por lo cual vamos a multiplicar ambos lados de la expresión por el denominador:

$$(2x + 3) = A(x-1)(x+2) + B(x)(x+2) + C(x)(x-1)

$$2x + 3 = A x^{2} + Ax -2A +B x^{2} + 2Bx + C x^{2} - Cx

Separamos por factor común:

$$2x + 3 = ( A + B + C )x^{2} +(A+2B-C)x -2A

Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos términos del lado izquierdo , de manera que obtendremos tres ecuaciones:

A+B+C =0

A+2B-C=2

-2A=3

Una vez que hemos resuelto este sistema de ecuaciones obtenemos los valores de las constantes que son:

$$A=- \frac{3}{a} ; B= \frac{5}{3}; C=- \frac{1}{6}

Sustituimos los valores:

$$\frac{(2x+3)dx}{x(x-1)(x+2)} = -\frac{3}{2x} + \frac{5}{3(x-1)} - \frac{1}{6(x+2)}

Integramos los valores:

$$\int\frac{(2x+3)dx}{x(x-1)(x+2)} = -\frac{3}{2} \int \frac{dx}{x}+ \frac{5}{3} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{6} \int \frac{dx}{x+2}

Resolvemos las integrales del lado derecho:

$$=- \frac{2}{3}ln(x)+ \frac{5}{3}ln(x-1)- \frac{1}{6}ln(x+2)+c

Resultado:

$$=ln \frac{(x-1)^{ \frac{5}{3}}}{(x) \frac{2}{3}(x+2) \frac{1}{6} } +c

Caso 2: Factores lineales repetidos 

El numero de factores será igual al grado (exponente) del polinomio; es decir; a cada factor lineal ax+b que figure n veces en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma :

$$\frac{A}{(ax + b )} + \frac{B}{(ax+b )^{2} }..... \frac{N}{(ax + b )^{n} }

Nota: Una de las integrales correspondientes a este caso da como resultado un logaritmo natural, mientras que las restantes se resuelven mediante un cambio de variables.

$$\frac{ Z^{2} }{(Z-1)^{3} } = \frac{A}{(Z-1 )}+\frac{B}{(Z+1)^{2}} + \frac{C}{(Z -1)^{3}}

Ejemplo:

$$\int \frac{(5 x^{2}-36x+48 )dx}{x(x-4 )^{2} }

Al obtener estos dos factores debemos percatarnos que estos se puedan reducir lo mas posible:

$$\frac{(5 x^{2}-36x+48 )dx}{x(x-4 )^{2} } = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x-4 )^{2}}+ \frac{C}{(x-4)}

Por lo cual A,B,C son constantes a determinar , por lo cual vamos a multiplicar ambos lados de la expresión por el denominador:

$$(5 x^{2}-36x+48 ) =A(x-4 )^{2} + B(x) + C(x)(x-4)

Separamos por factor común:

$$(5 x^{2}-36x+48 ) =(A+C)x^{2}+(-8A + B-4C)x +(16A)

Igualamos los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos términos del lado izquierdo , de manera que obtendremos tres ecuaciones:

A+C =5

-8A+B-4C=-36

16A=48

Una vez que hemos resuelto este sistema de ecuaciones obtenemos los valores de las constantes que son:

$$A=- \frac{3}{a} ; B= \frac{5}{3}; C=- \frac{1}{6}

Sustituimos los valores:

$$\frac{(5 x^{2} - 36x+48)dx }{x(x-4 )^{2} } = \frac{3}{x} - \frac{4}{(x-4)^{2}} + \frac{2}{x-4}

Integramos:

$$\int\frac{(5 x^{2} - 36x+48)dx }{x(x-4 )^{2} } = 3 \int \frac{dx}{x} - 4 \int\frac{dx}{(x-4)^{2}} + 2 \int \frac{dx}{x-4}

Resultado:

$$=3ln(x)- \frac{4}{x-4}+ln(x-4)+c

Caso 3: Factores cuadráticos distintos

En este caso a cada factor le corresponderán dos constantes, de las cuales una de estas será el coeficiente del termino lineal. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos se repite.

A todo factor no repetido de segundo grado, como

$$x^{2} + px + q

le corresponde una fracción parcial de la forma 

$$\frac{Ax+B}{ x^{2}+px+q }

$$\frac{4 x^{2}-8x+1}{ x^{2} -x+6} = \frac{4 x^{2}-8x+1}{(x+2)(x^{2} -2x+3)} = \frac{A}{(x+2)} + \frac{Bx + C }{(x+2)(x^{2} -2x+3)}

Ejemplo:

$$\int \frac{4dx}{ x^{3}+4x }

El denominador de dicha fracción se puede factorizar por factor común:

$$x( x^{2}+4)

 Al obtener estos dos factores debemos percatarnos que estos se puedan reducir lo mas posible:

$$\frac{4 dx}{x( x^{2}+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{( x^{2}+4)}

Porlo cual A,B,C son constantes a determinar , por lo cual vvamos a multiplicar ambos lados de la expresion por el denominador:

$$4= A( x^{2}+4) + Bx +C (x)

Separamos por factor común:

$$4= (A+B)x^{2}+(C)x+(4A)

Igualamos los coeficientes:

A+B =0

C=0

4A=4

Una vez que hemos resuelto este sistema de ecuaciones obtener los valores de las costantes que son:

$$A=- \frac{3}{a} ; B= \frac{5}{3}; C=- \frac{1}{6}

Caso 4: Factores cuadráticos repetidos 

El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos se repiten.

A todo factor de segundo grado repetido n veces, como 

$$( x^{2}+px+q)^{n}

Corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma

$$\frac{Ax+B}{( x^{2} + px + q )^{n} } + \frac{Cx + D}{( x^{2} + px + q )^{n}}+....+ \frac{Lx + M}{( x^{2} + px + q )^{n}}

Ejemplo:

$$\int \frac{(1+x+2 x^{x}- x^{3}) dx}{x( x^{2}+1)^{2} }

Al obtener estos dos factores debemos percatarnos que estos se puedan reducir lo mas posible:

$$\int \frac{(1+x+2 x^{x}- x^{3}) dx}{x( x^{2}+1)^{2} } = \frac{A}{x}+ \frac{Bx+C}{( x^{2}+1 )}+ \frac{Dx+E}{( x^{2}+1 )^{2} }

Por lo cual A,B,C Y D son constantes a determinar , por lo cual vamos a multiplicar ambos lados de la expresión por el denominador:

(1−x+2x2−x3)=A(x2+1)2+Bx+C(x)(x2+1)+Dx+E(x)

$$(1-x+2x^2-x^3)=A{x}^4+2A{x}^2+A+B{x}^4+B{x}^2+C{x}^3+Cx+D{x}^3+D{x}^2+$$

Separamos por factor común:

$$(1-x+2 x^{2}- x^{3}) = (A+B) x^{4}+(C) x^{3}+(2A+B+D) x^{2}+(C+E)x+(A)

Igualamos los coeficientes:

A+B =0

C=-1

2A+B+D=2

C+E=-1

A= 1

Una vez que hemos resuelto este sistema de ecuaciones obtenemos los valores de las constantes que son:

$$A=1 ; B=-1; C=-1;D=1;E=0

Sustituimos los valores:

$$\frac{(1+x+ x^{2}- x^{3})dx}{x( x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{x}- \frac{x-1}{( x^{2}+1)}+ \frac{x}{( x^{2}+1)^{2} }

Integramos:

$$\int \frac{(1+x+ x^{2}- x^{3})dx}{x( x^{2}+1)^{2}} = \int \frac{dx}{x}- \int \frac{x-1}{( x^{2}+1)}dx+ \int \frac{x}{( x^{2}+1)^{2} }dx

Resultado:

$$=ln(x)- \frac{ln( x^{2}+1)}{x}+ arc tg(x)+ \frac{1}{2}* \frac{ (x^{2}+1)^{3} }{3}+c