Portafolio de Génesis Vernaza - ing. Sistemas de información
Centro de masa
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El centro de masa también se conoce como centro de gravedad si el objeto esta en un campo gravitacional uniforme. Si el objeto tiene una densidad uniforme , el centro de masa es el centro geométrico del objeto, que se llama centroide.
Para hallar las coordenadas del centro de masa P(x,y)de una lamina necesitamos hallar el momento Mx de la lamina sobre el ejex y el momento My sobre el ejey.
También se necesita calcular la masa m de la lamina:
Ahora supongamos que tenemos una varilla a lo largo del eje x con m1 en x1 y m2 en x2 , y el centro de masa es x. Se ve que d1= x-x1 y d2=x2-x , entonces la ecuaciones:
m1(xˉ−x1)=m2(x2−xˉ)
m1xˉ−m2xˉ=m1x1+m2x2
x =m1+m2m1x1+m2x2
Si se tiene un sistema de n partículas con masas mn localizadas en los puntos xn sobre el eje x, se puede demostrar de manera similar que el centro de masa del sistema se localiza en:
x=∑inmi∑inmixi=m∑inmixi
Sistema respecto al eje x:
Mx=i∑nmiy
Sistema respecto al eje y:
My=i∑nmixi
Las coordenadas (x,y) del centro de masa están dadas en términos de los momentos por las formulas:
x=mMy;y=mMx
Es decir:
x=mMy=∫abf(x)dx∫abxf(x)dx
y=mMx=∫abf(x)dx∫ab21[f(x)]2dx
Entonces , el centro de mesa de la placa se localiza en el punto (x,y ) , en:
x=A1∫abxf(x)dx
Ejemplo:Encuentre el centroide del área bajo la curva de la parábola y=4-x^2 en [-2 , 2]
Si un objeto se mueve una distancia D , a lo largo de una línea, mientras se encuentra sujeto a una fuerza constante F en la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado por la fuerza es: W = F ∗ D → Trabajo = (Fuerza)(Distancia). La fuerza se mide en newtons de 1 m / s 2 , entonces el trabajo está en newton-metros, también llamados j o u l e s ( J ) . En muchas situaciones prácticas, la fuerza no es constante, sino que varía conforme el objeto se mueve a lo largo de la línea Ejemplo: Un resorte ejerce una fuerza de 50 newtons cuando se estira 10 metros mas allá de su punto de equilibrio. A)Determinar la constante del resorte. B)Calcule el trabajo requerido para estirar el resorte 18 metros mas allá de su punto de equilibrio. Resolución: Como el resorte esta en su punto máximo de equilibrio antes de ser estirado se puede determinar el valor de la constante del resorte utilizando la ley de Hooke y los datos del problema: F=...
Este método consiste en hacer rotar la gráfica de nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la suma de discos. Para obtener el volumen de un disco se multiplica el área del círculo por la altura de este: V= \pi r^{2} h V = π r 2 h En este caso tomaremos el eje x como el eje de rotación , por lo que el radio del circulo esta definido por la función en x y la altura será Delta x: V= \pi [f(x)]^{2} \Delta x V = π [ f ( x ) ] 2 Δ x Por lo tanto: V= \lim_{h \rightarrow \infty} \sum_h^ \infty \pi [f(x)]^{2} \Delta x V = lim h ∑ ∞ π [ f ( x ) ] 2 Δ x Por lo anterior, tendremos dos casos: 1. Si usamos rectángulos verticales: V= \int_a^b \pi [f(x)]^{2} d x V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x 2. Si usamos rectángulos horizontales: V = ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y Ejemplo: Encuentre volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor de la recta y = 4 , la región limitada por la parábola y=x , la rect...
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